已知函数f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+bx在区间[-1,1),(1,3]内各有一个极限值点,求a^2-4b的最大值

题目

已知函数f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+bx在区间[-1,1),(1,3]内各有一个极限值点,求a^2-4b的最大值

答案

f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+bx 处处可导.
因此,f(x)的极值点必为驻点.
f'(x) = x^2 + ax + b,
f''(x) = 2x + a,
f(x) 在区间[-1,1),(1,3]内各有一个极限值点,说明f'(x)=0在区间[-1,1),(1,3]内各有一个根.
因此,必有,
a^2 - 4b > 0.
且可设 f'(x) = (x-c)(x-d),其中 -1