证明矩阵A和B对称的充分必要条件是AB=BA

题目

证明矩阵A和B对称的充分必要条件是AB=BA

答案

题目不完全,首先应有A和B均为n阶对称矩阵的条件.
1、若A、B是对称矩阵,则根据对称矩阵的定义,（AB）T=AB,（T是上标,以下相同）,
而根据转置矩阵的重要性质,（AB）T=（B）T（A）T,而B、A都是对称矩阵,(B)T=B,(A)T=A,
所以AB=BA,即A和B可交换.
2、若AB=BA,即A和B是可交换矩阵,根据转置矩阵的重要性质,
（AB）T=（B）T（A）T,
而B、A都是对称矩阵,(B)T=B,(A)T=A,（B）T（A）T=BA,
故（AB）T=AB,
故AB是对称矩阵.