设函数f(x)=sinx−3cosx+x+1. (Ⅰ)求函数f(x)在x=0处的切线方程; (Ⅱ)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,f′(B)=3且a+c=2,求边长b的最小值.
题目
设函数
f(x)=sinx−cosx+x+1.
(Ⅰ)求函数f(x)在x=0处的切线方程;
(Ⅱ)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,f′(B)=3且a+c=2,求边长b的最小值.
答案
(Ⅰ)当x=0时,f(0)=1-
,则切点为(0,1-
)
∵
f′(x)=cosx+sinx+1,∴f′(0)=2
∴函数f(x)在x=0处的切线方程为y-(1-
)=2(x-0),即y=2x+(1-
);
(Ⅱ)由(Ⅰ)f′(B)=2sin(B+
)+1=3,即sin(B+
)=1,∴
B=由余弦定理可得b
2=a
2+c
2-2accosB=a
2+c
2-ac=(a+c)
2-3ac=4-3ac≥4-3•
()2=4-3=1
当且仅当a=c=1时,取等号
∴b
2≥1,
∵b>0,∴b≥1,
∴b
min=1.
(Ⅰ)确定切点坐标,求导函数求斜率,即可求得切线方程;
(Ⅱ)先求B,再利用余弦定理,结合基本不等式,即可求得边长b的最小值.
利用导数研究曲线上某点切线方程;解三角形.
本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查余弦定理、基本不等式的运用,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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