已知直线L1过点（2,1）且交X轴于点P,直线L2过点（3,-4）且交Y轴于点Q.若L1垂直L2,求PQ的中点M的轨迹方程.

题目

已知直线L1过点（2,1）且交X轴于点P,直线L2过点（3,-4）且交Y轴于点Q.若L1垂直L2,求PQ的中点M的轨迹方程.

答案

（1）当两直线斜率存在且不为0时,设L1的斜率为k,则y-1＝k（x-2）,交X轴于点P,令y＝0,求得x＝-1/k＋2
即得P（-1/k＋2,0）
L1垂直L2,则L2的斜率为-1/k,得L2的方程y+4＝-1/k（x-3）交Y轴于点Q,令x＝0得y＝3/k-4 即得Q（0,3/k-4）
得PQ的中点M的横坐标x＝-1/2k+1,纵坐标y＝3/2k-2
联立消去k得中点M的轨迹方程为3x+y－1＝0
（2）经检验,当L1垂直与y轴,L2垂直于x轴时,不存在m
当L1垂直与x轴,L2垂直于y轴时,中点M（1,-2）符合
方程3x+y－1＝0
综上所述.