设A是n阶方阵,若有正整数k,使得A^k=E,证明A相似于对角矩阵

题目

设A是n阶方阵,若有正整数k,使得A^k=E,证明A相似于对角矩阵

答案

因为 A^k = E 所以 A可逆,即A的特征根非零.
如果A不可对角化,根据亚当标准型,存在 两个非零向量 x1,x2,及一个非零特征根a,使得：
Ax2 = a x2,Ax1 = ax1 + x2.
则:
A^2x1 = A(ax1 + x2) = a^2 x1 + 2ax2
A^3x1 = A(a^2x1 + 2ax2) = a^3 x1 + 3a^2 x2
.
A^k x1 = A(a^(k-1)x1 + (k-1)a^(k-2)x2) = a^k x1 + ka^(k-1)x2
A^k = E ==> A^k x1 = x1,===> ka^(k-1) = 0,矛盾!
所以A可以对角化,即A相似于对角矩阵