等差数列{an}的各项均为整数,其公差d≠0,a5=6

题目

等差数列{an}的各项均为整数,其公差d≠0,a5=6
若无穷数列a3,a5,a(n1)……a(nt)为等比数列,则n1的值?
答案是11,为什么n1=6和8要舍啊?

答案

设n1=x
根据等比数列特征：
a3*a(n1)=a5*a5
即(6-2d)*(6+(x-5)d)=36,各项都是整数,所以d也是整数
两项乘积为36,可能是1*36,2*18,3*12,4*9,6*6,9*4,12*3,18*2,36*1
6-2d为偶数,所以只能是2*18,4*9,6*6,12*3,18*2,36*1
2*18可以解得x=11,d=2
4*9可以解得x=8,d=1.这个时候a3=4,a5=6,a8=9,成等比数列,问题是题目要求这个等比数列有无穷多项.4,6,9以后,下一项就不是整数了.
6*6可以解得x=0,不不符题意
12*3,18*2和36*1,可以解得x