t->0,lim[tan(sinx)-sin(tanx)]/(tanx-sinx)=?

题目

t->0,lim[tan(sinx)-sin(tanx)]/(tanx-sinx)=?

答案

原式=lim{x->0}{tan(sinx)-tan(tanx)[1+cos(tanx)-1]}/(tanx-sinx)
=lim{x->0}{tan(sinx-tanx)[1+tan(sinx)tan(tanx)]/(tanx-sinx)
-lim{x->0}tan(tanx)[cos(tanx)-1]/(tanx-sinx)
因为tan(sinx-tanx)~sinx-tanx以及tan(tanx)~tanx (x->0),故上式
=-lim{x->0}[1+tan(sinx)tan(tanx)]-lim{x->0}[cos(tanx)-1]/(1-cosx)
因为cos(tanx)-1~-(tanx)^2/2 (x->0)以及1-cosx~-x^2/2 (x->0)故上式
=-1+lim{x->0}(tanx/x)^2
=-1+1
=0