已知正项等比数列{an},a1=2,又bn=log2an,且数列{bn}的前n项和为Tn,当且仅当n=7时Tn最大,则数列{an}的公比q的取值范围是_.
题目
已知正项等比数列{an},a1=2,又bn=log2an,且数列{bn}的前n项和为Tn,当且仅当n=7时Tn最大,则数列{an}的公比q的取值范围是______.
答案
设等比数列{a
n}的公比为q,
则b
n+1-b
n=log
2a
n+1-log
2a
n═log
2q
∴数列{b
n}是以log
2q为公差,以log
2a
1=1>0为首项的等差数列,
其通项公式为b
n=1+(n-1)log
2q.
由于当且仅当n=7时T
n最大,
∴log
2q<0,且b
7>0,b
8<0,
即
,
∴
,即
−<log2q<−解得
2−<q<2−,
故答案为:(
2−,2−)
由bn+1-bn=log2an+1-log2an═log2q,得出数列{bn}是等差数列,由已知仅当n=7时Tn最大,通过解不等式b7>0,b8<0,求出公比q的取值范围即可.
等比数列的性质.
本题考查了等差数列的判定,前n项和最值情况.由条件得到b7>0,b8<0是解决本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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