已知正项等比数列{an},a1=2,又bn=log2an,且数列{bn}的前n项和为Tn,当且仅当n=7时Tn最大,则数列{an}的公比q的取值范围是_.

已知正项等比数列{an},a1=2,又bn=log2an,且数列{bn}的前n项和为Tn,当且仅当n=7时Tn最大,则数列{an}的公比q的取值范围是_.

题目
已知正项等比数列{an},a1=2,又bn=log2an,且数列{bn}的前n项和为Tn,当且仅当n=7时Tn最大,则数列{an}的公比q的取值范围是______.
答案
设等比数列{an}的公比为q,
则bn+1-bn=log2an+1-log2an═log2q
∴数列{bn}是以log2q为公差,以log2a1=1>0为首项的等差数列,
其通项公式为bn=1+(n-1)log2q.
由于当且仅当n=7时Tn最大,
∴log2q<0,且b7>0,b8<0,
1+6log2q>0
1+7log2q<0

log2q>−
1
6
log2q<−
1
7
,即
1
6
log2q<−
1
7

解得2
1
6
<q<2
1
7

故答案为:(2
1
6
2
1
7
由bn+1-bn=log2an+1-log2an═log2q,得出数列{bn}是等差数列,由已知仅当n=7时Tn最大,通过解不等式b7>0,b8<0,求出公比q的取值范围即可.

等比数列的性质.

本题考查了等差数列的判定,前n项和最值情况.由条件得到b7>0,b8<0是解决本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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