设直线L：Y=KX+M(其中K,M为整数）与椭圆X平方/16+Y平方/12=1交与不同两点A,B,与双曲线X平方/16+Y平方/12=1交于不同两点C,D,问是否存在直线L,使得向量AB+向量BD=0

题目

设直线L：Y=KX+M(其中K,M为整数）与椭圆X平方/16+Y平方/12=1交与不同两点A,B,与双曲线X平方/16+Y平方/12=1交于不同两点C,D,问是否存在直线L,使得向量AB+向量BD=0,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.（关于高一高二的知识）

答案

先改正打字错误：
设直线L：Y=KX+M(其中K,M为整数）与椭圆X平方/16+Y平方/12=1交与不同两点A,B,与双曲线X平方/16-Y平方/12=1交于不同两点C,D,问是否存在直线L,使得向量AC+向量BD=0,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由
把y=kx+m代入
x^2/16+y^2/12=1,化简得
(3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-48=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-8km/(3+4k^2).
把y=kx+m代入
x^2/16-y^2/12=1,化简得
(3-4k^2)x^2-8kmx-4m^2-48=0,
设C(x3,y3),D(x4,y4),
则x3+x4=8km/(3-4k^2).
向量AC+向量BD=0
x3-x1+x4-x2=0
x1+x2=x3+x4
-8km/(3+4k^2)=8km/(3-4k^2),
∴k=0,或m=0.
这样的直线有无限多条.