二阶常系数微分方程根值为虚数时为什么解出来的解里用三角表示时不含虚数i?

题目

二阶常系数微分方程根值为虚数时为什么解出来的解里用三角表示时不含虚数i?

答案

我举个例子你就明白了.
例如：求方程 y ' + y = 0 的通解.
方程所对应的特征方程为：x^2 + 1 = 0 => x = ± i.
即方程的线性无关的基础解系为：
u(x) = e^(i * x) = cos x + i * sin x,v(x) = e^(-i * x) = cos x - i * sin x
将线性无关的基础解系进行线性无关的组合,得到的仍然是基础解系.所以,
u1(x) = [u(x) + v(x)] / 2 = cos x
v1(x) = [u(x) - v(x)] / (2i) = sin x
u1(x),v1(x) 仍然是原方程线性无关的基础解系.故通解为：
y = C1 * u1(x) + C2 * v1(x) = C1 * cos x + C2 * sin x.
这样,得到通解中就不含虚数 i 了.