已知函数f（x）=2ax-x3，a＞0，若f（x）在x∈（0，1]上是增函数，求a的取值范围．

题目

已知函数f（x）=2ax-x³，a＞0，若f（x）在x∈（0，1]上是增函数，求a的取值范围．

答案

∵f（x）在x∈（0，1]上是增函数，
∴f′（x）=2a-3x²在（0，1]上恒为正，
∴2a＞3x²恒成立，
即a＞

3

2

x²，
∵x∈（0，1]，
∴

3

2

x²∈（0，

3

2

]，
∴a＞

3

2

，
又当a=

3

2

时也成立，
∴a≥

3

2

．