已知数列{an}满足:2a1+2a2+…+2an-1+2an=2n+1-2,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=2/anan+1,数列{bn}的前n项和为Tn.若存在实数λ,使
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已知数列{an}满足:2a1+2a2+…+2an-1+2an=2n+1-2,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=2/anan+1,数列{bn}的前n项和为Tn.若存在实数λ,使
题目
已知数列{a
n
}满足:
2
答案
(1)当n≥2时,∵
2
a
1
+
2
a
2
+…+
2
a
n-1
+
2
a
n
=2
n+1
-2
2
a
1
+
2
a
2
+…+
2
a
n-1
=2
n
-2,
∴
2
a
n
=(
2
n+1
-2)-(
2
n
-2)
,即
2
a
n
=
2
n
.
当n=1时,
2
a
1
=
2
2
-2
,解得a
1
=1,也符合上式.
∴数列{a
n
}的通项公式为a
n
=n;
(2)由(1)可知:
b
n
=
2
a
n
a
n+1
=
2
n(n+1)
=2(
1
n
-
1
n+1
)
,
∴T
n
=
2[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)]
=
2(1-
1
n+1
)
.
∵
T
n+1
-
T
n
=2(1-
1
n+2
)-2(1-
1
n+1
)
=
2
(n+1)(n+2)
>0
,
∴T
n+1
>T
n
.数列{T
n
}是单调递增数列,
∴{T
1
}的最小值为T
1
=1.
由题意,λ≥数列{T
n
}的最小值=1,
∴实数λ的最小值为1.
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