已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6),设抛物线顶点为A,与x轴交于B、C两点,问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形?如果存在求m;若不存在说明理由.
题目
已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6),设抛物线顶点为A,与x轴交于B、C两点,问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形?如果存在求m;若不存在说明理由.
答案
若△ABC是等腰直角三角形,则∠BAC=90°,
设B、C两点的坐标分别为(x
1,0)、(x
2,0),x
1<x
2,则x
1、x
2是方程x
2-(m
2+8)x+2(m
2+6)=0的两个根,
∴x
1+x
2=m
2+8,x
1•x
2=2(m
2+6),
∴x
1>0,x
2>0,
∴BC=x
2-x
1,
∵(x
1-x
2)
2=(x
1+x
2)
2-4x
1x
2=(m
2+8)
2-8(m
2+6),
=(m
2+4)
2,
∴BC=m
2+4,
∵由抛物线的顶点坐标可知,A点的纵坐标为,
=2(m
2+6)-
,
∴AD=
-2(m
2+6),
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴BC=2AD,
∴m
2+4=
-4(m
2+6),
解得m
2=-2<0,m
2=-4<0,都无意义.
故答案为:不存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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