已知函数f（x）=x2+a/x（x≠0，a∈R） （1）判断函数f（x）的奇偶性． 　（2）若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．

题目

已知函数f（x）=x²+

a

x

答案

（1）当a=0时，f（x）=x²，函数是偶函数；
当a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）设x₂＞x₁≥2，f（x₁）-f（x₂）=x12+

a

x1

-x22-

a

x2

=

x1−x2

x1x2

[x₁x₂（x₁+x₂）-a]，
∵x₂＞x₁≥2，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，x₁+x₂＞4，
∴x₁x₂（x₁+x₂）＞16，
∵若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，即f（x₁）-f（x₂）＜0，∴x₁x₂（x₁+x₂）-a＞0恒成立，
∴a＜x₁x₂（x₁+x₂）恒成立，
又∵x₁x₂（x₁+x₂）＞16，
∴a≤16
故实数a的取值范围是a≤16．