2若函数f（x)满足对于（0,正无穷大）的任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且x>1f(x)>0试证f(x/y)=f(x)-f(y）

题目

2若函数f（x)满足对于（0,正无穷大）的任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且x>1f(x)>0试证f(x/y)=f(x)-f(y）
f（x)=-f(1/x) (3)f(x)在(0,正无穷大）上递增

答案

令x=y=1,则 f(1)= f(1)+ f(1),所以 f(1)=0
令y=l/x,则 f(1)= f(x)+ f(1/x)=0所以f（x)=-f(1/x)
同理f(1/y)=-f(y）
所以f(x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)
（3） 设00
所以f(x2)>f（x1）所以f(x)在(0,正无穷大）上递增