已知2b是1-a和1+a的等比中项，则a+4b的取值范围是_．

题目

已知2

b

是1-a和1+a的等比中项，则a+4b的取值范围是______．

答案

∵2

b

是1-a和1+a的等比中项，
∴(2

b

)2＝(1−a)(1+a)，
∴4b=1-a²＞0，
∴a∈（-1，1）
∴a+4b的取值范围即求y=a+4b=-a²+a+1在a∈（-1，1）的值域，
根据抛物线的图象可知y=-a²+a+1在a∈（-1，1）的值域为（-1，

5

4

]
故答案为：(−1，   

5

4

]．

首先利用等比数列的性质得出4b=1-a²＞0，得出a∈（-1，1），进而转化成y=a+4b=-a²+a+1在a∈（-1，1）的值域，然后根据抛物线的图象得出值域．

本题考点：等比数列的通项公式．

考点点评：本题考查了等比数列的性质以及二次函数的根据图象求值域，解题过程要注意a∈（-1，1），属于中档题．