如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，AB=AD=2，CA=CB=CD=BD=2， （1）求证：BD⊥AC； （2）求三棱锥E-ADC的体积．

题目

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，AB=AD=

2

，CA=CB=CD=BD=2，

（1）求证：BD⊥AC；
（2）求三棱锥E-ADC的体积．

答案

（1）证明：连接OC，∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD，
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
∵AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩OC=O，
∴直线BD⊥平面AOC，
∵AC⊂平面AOC，
∴BD⊥AC；
（2）在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

，而AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，
即AO⊥OC．
又AO⊥BD，BD∩OC=O，BD，OC⊂平面BCD
∴AO⊥平面BCD．
在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，
∴AO=1，S_△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

，
∴V_E-ACD=V_A-CDE=

1

3

•S_△CDE•AO=

3

6

．

（1）连接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD，证明直线BD⊥平面AOC，即可证明BD⊥AC；
（2）证明AO即为棱锥的高，根据等积法可得V_E-ACD=V_A-CDE，代入棱锥的体积公式，可得答案．

本题考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积公式，熟练掌握空间直线与直线垂直与直线与平面垂直相互之间的转化关系是解答的关键．