在平面直角坐标系xoy中,点P是第一象限内曲线y=-x^2+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于AB两点,则三角形AOB的面积的最小值为多少

题目

在平面直角坐标系xoy中,点P是第一象限内曲线y=-x^2+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于AB两点,则三角形AOB的面积的最小值为多少

答案

切线方程为：y=-2Xp*(x-Xp)+Yp,1>Xp>0,1>Yp>0
与坐标轴的交点为：(0,2Xp^2+Yp),((2Xp^2+Yp)/(2*Xp),0)
因为Xp^2+Yp=1
与坐标轴的交点为：(0,1+Xp^2),((1+Xp^2)/(2*Xp),0)
面积=(1+Xp^2)*[(1+Xp^2)/(2*Xp)]/2
=(1+Xp^2)^2/(4Xp)
=(1/4)*(1/Xp+2Xp+Xp^3)
f'=(1/4)*(-1/Xp^2+2+3Xp^2)=0
Xp=√3/3时取得最小值
面积的最小值为4√3/9