已知:二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过x轴上两个不同的点M,N,求a,b的值.
题目
已知:二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过x轴上两个不同的点M,N,求a,b的值.
答案
依题意,设M(x
1,0),N(x
2,0),且x
1≠x
2,
则x
1,x
2为方程x
2+2ax-2b+1=0的两个实数根.
∴x
1+x
2=-2a,x
1•x
2=-2b+1,
∵x
1,x
2又是方程-x
2+(a-3)x+b
2-1=0的两个实数根,
∴x
1+x
2=a-3,x
1•x
2=1-b
2,
∴
解得
或
当a=1,b=0时,二次函数的图象与x轴只有一个交点,
∴a=1,b=0舍去;
当a=1,b=2时,二次函数为y=x
2+2x-3和y=-x
2-2x+3符合题意;
∴a=1,b=2.
两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M,N,将两个解析式转化为一元二次方程,比较两个方程的根与系数关系,得出方程组,解方程组求a、b的值,再结合方程有两个不等根进行讨论.
抛物线与x轴的交点.
本题考查了二次函数解析式与一元二次方程的根与系数关系的联系.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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