设函数f(x)的定义域为R,当x>0时,f(x)>1.对任意的x,y∈R有f(x+y)=f(x)f(y)成立,解不等式：f(x)

题目

设函数f(x)的定义域为R,当x>0时,f(x)>1.对任意的x,y∈R有f(x+y)=f(x)f(y)成立,解不等式：f(x)

答案

先证明这是一个单调递增函数
设x1>x2,那么x1-x2>0,f(x1-x2)>1
f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)f(x2)>f(x2)
所以这个函数单调递增
令x=1,y=0
那么f(1)=f(1)f(0),即f(1)[1-f(0)]=0
因为当x>0时,f(x)>1,那么f(1)≠0
所以1-f(0)=0,得f(0)=1
f(0)=f(x+1-x-1)=f(x+1)f(-x-1)
所以f(0)/f(x+1)=f(-x-1)
f(x)