已知函数f(x)对任意实数x,y,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立,求证f(x)为偶函数
题目
已知函数f(x)对任意实数x,y,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立,求证f(x)为偶函数
答案
首先令y=0代入得 f（x）+f（x）=2f（x）f（0）
得f（0）=1
则令x=0代入
得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）
由于f（0）=1
所以f（y）+f（-y）=2f（y）
所以f（-y）=f（y）
对于任意实数都有f（-y）=f（y）
所以函数为偶函数.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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