已知函数f(x)对任意实数x,y,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立,求证f(x)为偶函数

题目

已知函数f(x)对任意实数x,y,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立,求证f(x)为偶函数

答案

首先令y=0代入得 f（x）+f（x）=2f（x）f（0）
得f（0）=1
则令x=0代入
得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）
由于f（0）=1
所以f（y）+f（-y）=2f（y）
所以f（-y）=f（y）
对于任意实数都有f（-y）=f（y）
所以函数为偶函数.