在一点的空心邻域可导,能否说明在这一点左右导数都存在?为什么

题目

在一点的空心邻域可导,能否说明在这一点左右导数都存在?为什么
我知道在这个条件下,导数在这一点的左右极限是不一定存在的,就像f=x^2*sin(1/x);(x不等于0),f=0;(x等于0).这个结论应该是对的,
回答对了,
我漏了一个条件,函数在这个邻域内连续
你可以看看我给的例子,我暂时追加五十分
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其实还有一个条件,就是在这个函数的导数的极限存在,我觉得可能没关系就每写上去.例如我说的例子,它在0点有左右导数,可是在这一点导数没有左右极限.似乎导数有左右极限可以推出有左右导数,而导数有左右极限似乎和该点有左右导数无关?
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我知道我问的太细了,谁叫自己以前没好好学呢,回答满意的我至少追加50分,说到做到
大家不要想反例了,这三个条件就是导数极限定理,可以推出在该点导数等于导函数在该点的极限,我主要问的是在前两个条件下左右导数是否存在

答案

如果左右极限存在,当然由导函数极限定理,那么导数存在
把最重要的条件给去掉当然肯定不行了.
如果没有这个条件,结论是不对的
反例其实把你自己举的例子稍微改一下就好了
f(x)=
x*sin(1/x) 当x不等于0
0 当x=0
那么f在0点连续
在非零处都可导
但是左右导数都不存在.
这样问题就解决了.