设A为n阶方阵,B为N×S矩阵,且r(B)=n.证明若AB=0则A=0

题目

设A为n阶方阵,B为N×S矩阵,且r(B)=n.证明若AB=0则A=0

答案

若AB=0,则说明B的列向量都是AX=0的解
因为r(B)=n,所以AX=0至少有n个线性无关的解
设解集为S,则r(S)=n-r(A)>=n
即r(A)<=0,又r(A)>=0
所以r(A)=0
即A=0