将一条线段任意分成三段,求这三条线段可以组成一个三角形的概率.

题目

将一条线段任意分成三段,求这三条线段可以组成一个三角形的概率.

答案

设线段长为a,任意分成三段的长度分别是x 、y 和z=a-(x+y) ,
x +y＜a
三段能构成三角形,则
x+y＞z,即 x+y>(a-x-y),x +y>a/2
y+z＞x,即 y+(a-x-y)>x,x＜a/2
z+x＞y,即 (a-x-y)+x>y,y＜a/2
所求概率等于x+y=a/2、x=a/2、y=a/2三条直线所包围图形的面积除以直线(x+y)=a与x轴、y轴所包围图形的面积（插不了图）.
故将一条线段任意分成三段,这三条线段可以组成一个三角形的概率是
（a/2*a/2*1/2）÷（a*a*1/2）=a²/8÷a²/2=1/4