已知,如图,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,AB=AD,E,F分别是线段BC,CD上的点,且BE+FD=EF.求证:∠EAF=1/2∠BAD.
题目
已知,如图,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,AB=AD,E,F分别是线段BC,CD上的点,且BE+FD=EF.求证:∠EAF=
∠BAD.
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答案
证明:把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG,AD旋转到AB,AF旋转到AG,如图,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/30adcbef76094b3620acc85ca0cc7cd98d109d41.jpg)
∴AG=AF,BG=DF,∠ABG=∠D,∠BAG=∠DAF,
∵∠B+∠D=180°,
∴∠B+∠ABG=180°,
∴点G、B、C共线,
∵BE+FD=EF,
∴BE+BG=GE=EF,
在△AEG和△AEF中,
,
∴△AEG≌△AEF,
∴∠EAG=∠EAF,
而∠BAG=∠DAF,
∴∠EAB+∠DAF=∠EAF,
∴∠EAF=
∠BAD.
把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG,AD旋转到AB,AF旋转到AG,根据旋转的性质得到AG=AF,BG=DF,∠ABG=∠D,∠BAG=∠DAF,由∠B+∠D=180°得∠B+∠ABG=180°,即点G、B、C共线,而BE+FD=EF,则有GE=EF,根据三角形全等的判定方法易得△AEG≌△AEF,则∠EAG=∠EAF,而∠BAG=∠DAF,于是有∠EAB+∠DAF=∠EAF,即可得到结论.
旋转的性质;全等三角形的判定与性质.
本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等,即对应角线段,对应线段线段;对应点的连线段所夹的角等于旋转角;对应点到旋转中心的距离相等.也考查了三角形全等的判定与性质.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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