已知抛物线C:y^2=-2px(p>0)上横坐标为-3的一点与其焦点的距离为4.

题目

已知抛物线C:y^2=-2px(p>0)上横坐标为-3的一点与其焦点的距离为4.
设动直线y=k(x+2)于抛物线C相交于A,B两点,问：在x轴上是否存在于k的去值无关的定点M,使得∠AMB被x轴平分?若存在,求出点M的坐标；若不存在,说明理由.

答案

答：
抛物线C：y^2=-2px（p>0）开口向左,对称轴为x轴
横坐标x=-3上的点到其焦点的距离为4,则到准线x=p/2的距离也是为4
所以：p/2-(-3)=4
解得：p=2
y^2=-4x
直线y=k(x+2)恒过定点（-2,0）,为抛物线的焦点F
联立可得：y^2=(k^2)(x+2)^2=-4x
整理得：(k^2)x^2+4(k^2+1)x+4k^2=0
根据韦达定理有：
x1+x2=-4(k^2+1)/k^2=-4-4/k^2
x1*x2=4
x轴是∠AMB的平分线,则直线MB和MA的斜率互为相反数
设点M为（m,0）
依据题意有：kmb=-kma
(y1-0)/(x1-m)=-(y2-0)/(x2-m)
k(x1+2)/(x1-m)=-k(x2+2)/(x2-m)
显然,k=0时,y=0与抛物线仅有一个交点,不符合题意
所以：(x1+2)/(x1-m)=-(x2+2)/(x2-m)
x1x2-mx1+2x2-2m=-x1x2-2x1+mx2+2m
2x1x2-(x1+x2+4)m+2(x1+x2)=0
8-(-4/k^2)m-8-8/k^2=0
所以：4m/k^2-8/k^2=0
所以：4m-8=0时恒成立
解得：m=2
所以：定点M为（2,0）