2、过椭圆3X的平方+4Y的平方=12的焦点的直线L交椭圆于A、B两点,如果A、B两点到右准线的距离之和为7,求直

题目

2、过椭圆3X的平方+4Y的平方=12的焦点的直线L交椭圆于A、B两点,如果A、B两点到右准线的距离之和为7,求直

答案

椭圆方程：3x²+4y²=12
x²/4+y²/3=1
a²=4,a=2
b²=3,c²=a²-b²=4-3=1
c=1
e=c/a=1/2
右准线：x=a²/c=4
右焦点（1,0）
根据题意,设A(x1,y1)B(x2,y2)
设直线为y=k(x-1)代入椭圆方程
3x²+4k²(x-1)²=12
(4k²+3)x²-8k²x+4k²-12=0
x1+x2=8k²/(4k²+3)
点A和B到右准线的距离和=4-x1+4-x2=8-(x1+x2)
根据题意
8-(x1+x2)=7
8k²/(4k²+3)=1
k²=3/4
k=±√3/2
y=±√3/2(x-1)即y=√3/2x-√3/2或y=-√3/2x+√3/2
注：如果直线过左焦点,不合题意,因为左焦点到准线距离为5,A,B到准线距离要大于7