在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC,E是PC中点,作EF⊥PB交PB于点F

题目

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC,E是PC中点,作EF⊥PB交PB于点F
1.证明：PA平行平面EDB
2.证明：PB⊥平面EFD

答案

设AC、BD相交于点O,连接OE、BE、DF.
1）明显可知,PA在平面EDB外,E是PC中点,O是正方形ABCD中点,所以OE是三角形APC中位线,所以有EO平行于PA.所以PA平行于平面EDB.
2）由条件可知,BC垂直于CD,侧棱PD⊥底面ABCD,所以,PD垂直于BC,PD/CD相交于点D,所以BC垂直于平面PCD.因为PD=CD,E是PC中点,所以DE垂直于PC,所以DE垂直于平面PBC,所以DE垂直于PB,又因为EF垂直于PB,且DE和EF相交,所以PB⊥平面EFD