将函数y=−x2+2x+3−3(x∈[0,2])的图象绕坐标原点逆时针旋转θ(θ为锐角),若所得曲线仍是一个函数的图象,则θ的最大值为_.
题目
将函数
y=−(x∈[0,2])的图象绕坐标原点逆时针旋转θ(θ为锐角),若所得曲线仍是一个函数的图象,则θ的最大值为______.
答案
设f(x)=−x2+2x+3−3,根据二次函数的单调性,可得函数在[0,1]上为增函数,在[1,2]上为减函数.设函数在 x=0 处,切线斜率为k,则k=f'(0)∵f'(x)=12•(−x2 +2x)′−x2+2x+3=−x +1−x2+2x+...
根据二次函数的单调性,可得函数在[0,1]上为增函数,在[1,2]上为减函数.利用求导公式和导数的运算法则,可得函数的导数为f'(x)=−x +1−x2+2x+3,再设函数在 x=0 处,函数图象的切线斜率为k,则k=f'(0)=33=tan30°,可得切线的倾斜角为 30°.因此,可得要使旋转后的图象仍为一个函数的图象,最大旋转角为 90°-30°=60°.
函数的图象与图象变化.
本题给出二次式作为被开方数的一个函数,将函数图象绕原点逆时针旋转θ后,所得曲线仍是一个函数的图象,求角θ的最大值,着重考查了导数的几何意义和函数的图象与图象变化等知识点,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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