证明如果一个正交矩阵是正定矩阵,那么它必为单位矩阵

题目

证明如果一个正交矩阵是正定矩阵,那么它必为单位矩阵

答案

要意识到正交矩阵的特征根是1或-1
然后矩阵正定,特征值全为1.
Ax=ax,a为特征值,x为特征向量,则两边做转置x'A'=ax'.于是有x'A'Ax=ax'ax
由于A正交,左边为x'x,而右边为aax'x,所以a方=1,特征根是1或-1.
由于A对称正定,故存在正交矩阵B,B'AB为上三角形(其实由A正交可进一步知,是对角形,只需考虑AA'=A'A即得),对角线上为特征值,可见正定的充要条件是特征值皆为正数,本题都为1.
所以A正交相似于单位阵,即上边的B'AB=E.所以A=BB'=E(注意B正交).