斜抛运动曲率半径的求解方法

斜抛运动曲率半径的求解方法

题目
斜抛运动曲率半径的求解方法
答案
斜抛运动有斜向上抛、斜向下抛,以下为斜向上抛来说问题.
对于斜向上抛运动,上升阶段的轨迹与下落阶段的轨迹是对称的,所以只对上升阶段来说求曲率半径的方法.
  设抛出时的初速大小是V0,它与水平方向成θ角,对于给定的斜抛运动,V0和θ是确定的常量.
将初速V0正交分解在水平和竖直方向,水平分速度是 V0x=V0*cosθ ,V0x是常量.
竖直分速度是 V0y=V0*sinθ ,V0y是常量.
以下推导过程中,只用V0x和V0y表示.
抛出时间为 t 时,水平分速度是 Vx=V0x
竖直分速度是 Vy=V0y-g*t  (上升阶段,Vy>0)
合速度大小是 V=根号(Vx^2+Vy^2)=根号[ V0x^2+(V0y-g*t)^2 ]
合速度与水平方向夹角设为Ф ,则 tanФ=Vy / Vx=(V0y-g*t)/ V0x
合速度方向就是该处轨迹的切线方向,与切线垂直的就是法线,
显然,法线与水平方向夹角是 A=90度-Ф 
物体在空中只受重力作用,重力在此时分解在切向和法向,那么沿法向的分量就是法向合力(“向心力”),得 F法=F向=mg*sin(90度-Ф)
由“向心力”公式得 F法=F向=m*V^2 / R 
上式中的 R 就是所要求的物体所在处的曲率半径!
  mg*sin(90度-Ф)=m*V^2 / R
  mg*sin(90度-Ф)=m*[ V0x^2+(V0y-g*t)^2 ] / R
所求的曲率半径是 R=[ V0x^2+(V0y-g*t)^2 ] / [ g*sin(90度-Ф)]
=[ V0x^2+(V0y-g*t)^2 ] / ( g*cosФ)
因 1/cosФ=根号[1+(tanФ)^2]=根号{ 1+[(V0y-g*t)/ V0x]^2 }
  所以 R=[ V0x^2+(V0y-g*t)^2 ] *根号{ 1+[(V0y-g*t)/ V0x]^2 } / g
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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