（2014•开封二模）点P是曲线x2-y-lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（　　） A.1 B.32 C.52 D.2

题目

（2014•开封二模）点P是曲线x²-y-lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（　　）
A. 1
B.

3

2

C.

5

2

D.

2

答案

点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小．直线y=x-2的斜率等于1，令y=x2-lnx的导数 y′=2x-1x=1，x=1，或 x=-12（舍去），故曲线y=x2-lnx上和直线y=x-2平行的切线...

由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x-2的距离即为所求．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．