PA垂直平面ABCD,ABCD为正方形,PA=AD求二面角B-PC-A的大小

题目

PA垂直平面ABCD,ABCD为正方形,PA=AD求二面角B-PC-A的大小
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答案

过A做AM⊥PC于M,过M在面PBC上做PC的垂线MN,交PB于N,连结AN
则∠AMN即为二面角B-PC-A的平面角
设正方形ABCD的边长为a,则PA=a,AC=√2a
所以PC=√(PA^2+AC^2)=√3a
所以PM=PA^2/PC=(√3/3)a[由PA^2=PM·PC]
所以AM=√(PA^2-PM^2)=(√6/3)a,MN=BC·PM/PB=(√6/6)a[由△PMN∽△PBC得MN/BC=PM/PB]
由于PC⊥AM,PC⊥MN
所以PC⊥面AMN
所以PC⊥AN
又BC⊥AB,PA⊥BC
所以BC⊥面PAB
所以BC⊥AN
所以AN⊥面PBC
所以∠ANM=90°
所以cos∠AMN=MN/AM=1/2
所以∠AMN=60 °
即二面角B-PC-A的大小为60°