已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b. (1)求实数a,b的值. (2)若复数z满足|.Z-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的值.
题目
已知关于x的方程:x
2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值.
(2)若复数z满足|
-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的值.
答案
(1)∵b是方程x
2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,
∴(b
2-6b+9)+(a-b)i=0,
∴
解之得a=b=3.
(2)设z=x+yi(x,y∈R),由|
-3-3i|=2|z|,
得(x-3)
2+(y+3)
2=4(x
2+y
2),
即(x+1)
2+(y-1)
2=8,
∴z点的轨迹是以O
1(-1,1)为圆心,2
为半径的圆,如图所示,
如图,
当z点在OO
1的连线上时,|z|有最大值或最小值,
∵|OO
1|=
,
半径r=2
,
∴当z=1-i时.
|z|有最小值且|z|
min=
.
(1)复数方程有实根,方程化简为a+bi=0(a、b∈R),利用复数相等,即
解方程组即可.
(2)先把a、b代入方程,同时设复数z=x+yi,化简方程,根据表达式的几何意义,方程表示圆,
再数形结合,求出z,得到|z|.
复数相等的充要条件;复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的混合运算.
本题(1)考查复数相等;(2)考查复数和它的共轭复数,复数的模,复数的几何意义,数形结合的思想方法.
是有一定难度的中档题目.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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