设函数f(x)＝cos2x+23sinxcosx(x∈R)的最大值为M，最小正周期为T． （Ⅰ）求M、T； （Ⅱ）若有10个互不相等的正数xi满足f（xi）=M，且xi＜10π（i=1，2，…，10）

题目

设函数f(x)＝cos2x+2

3

sinxcosx(x∈R)的最大值为M，最小正周期为T．
（Ⅰ）求M、T；
（Ⅱ）若有10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

答案

∵f(x)＝

3

sin2x+cos2x＝2sin(2x+

π

6

)（4分）
（Ⅰ）∵M=2
∴T=

2π

2

＝π（6分）
（Ⅱ）∵f（x_i）=2，即2sin(2xi+

π

6

)＝2
∴2xi+

π

6

＝2kπ+

π

2

，
∴xi＝kπ+

π

6

(k∈Z)（9分）
又0＜x_i＜10π，∴k=0，1，…，9（11分）
∴x1+x2+…+x10＝(1+2+…+9)π+10×

π

6

=

140

3

π（12分）

利用辅助角公式对函数化简可得，f(x)＝

3

sin2x+cos2x＝2sin(2x+

π

6

)
（Ⅰ）由M=2，利用周期公式可求T=

2π

2

＝π
（Ⅱ）由f（x_i）=2，可得2sin(2xi+

π

6

)＝2，从而可得2xi+

π

6

＝2kπ+

π

2

，结合0＜x_i＜10π可求

本题考点：三角函数的最值．

考点点评：本题主要考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用，及由三角函数值求解角，属于三角函数的综合试题．