答案
x=0,x=sinx=x-x^3/6
x≤0,观察函数f(x)=x-sinx,g(x)=sinx-x+x^3/6增减性
f'(x)=1-cosx≥0,f(x)在(-∞,0]上单调递增,最大值f(0)=0
故x<0,x<sinx
g'(x)=cosx-1+x²/2,g''(x)=-sinx+2x,g'''(x)=2-cosx
g'''(x)=2-cosx>0恒成立,g''(x)在(-∞,0]上单调递增,最大值g''(0)=0
故g''(x)≤0在(-∞,0]上恒成立,g'(x)=cosx-1+x²/2在(-∞,0]上单调递减,最小值g'(0)=0
g'(x)≥0在(-∞,0]上恒成立,g(x)在(-∞,0]上单调递增,最大值g(0)=0
故x<0,sinx<x-x³/6
结论得证
这个关键是第二个”<“号的证明,涉及三次导数
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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