等边△ABC中,BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,BO、CO垂直平分线分别交BC于E、F.请问线段BE、FC是否相等?为什么?

等边△ABC中,BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,BO、CO垂直平分线分别交BC于E、F.请问线段BE、FC是否相等?为什么?

题目
等边△ABC中,BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,BO、CO垂直平分线分别交BC于E、F.请问线段BE、FC是否相等?为什么?
答案
BE=CF,
理由是:连接OE,OF,

∵DE垂直平分OB
∴BE=OE(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等),
同理OF=CF,
∴∠EBO=∠BOE,∠FCO=∠FOC,
∵等边三角形ABC中,
∴∠ABC=∠ACB=60°(等边三角形各角相等且为60°)
∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB
∴∠EBO=
1
2
∠ABC=30°,∠FCO=
1
2
∠ACB=30°
∴∠BOE=∠EBO=30°,∠FOC=∠FCO=30°
∴∠OEF=∠BOE+∠EBO=60°,∠OFE=∠FOC+∠FCO=60°,
∴△OEF是等边三角形(有两个内角60°的三角形是等边三角形)
∴OE=OF=EF(等边三角形各边相等)
∴BE=EF=FC,
即BE=CF.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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