已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D在BC的延长线上，点E在AC上，且CD=CE，延长BE交AD于点F，求证：BF⊥AD．

题目

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D在BC的延长线上，点E在AC上，且CD=CE，延长BE交AD于点F，求证：BF⊥AD．

答案

证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB=90°，
在△BEC和△ADC中
∵

BC＝AC ∠BCE＝∠ACD CE＝CD

，
∴△BEC≌△ADC（SAS），
∴∠CBE=∠DAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE+∠CEB=90°，
∵∠CEB=∠AEF，
∴∠DAC+∠AEF=90°，
∴∠AFE=180°-90°=90°，
∴BF⊥AD．

求出△BEC≌△ADC，推出∠CBE=∠DAC，根据∠CBE+∠CEB=90°推出∠DAC+∠AEF=90°，求出∠AFE=90°，根据垂直定义求出即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点，关键是求出∠CBE=∠DAC，主要考查学生运用定理进行推理的能力．