单摆周期公式的推导（微积分）

题目

单摆周期公式的推导（微积分）

答案

设摆长为l,摆线与竖直方向的夹角为θ,那么单摆的运动公式为：　　d²；θ/dt²+g/l*sinθ=0 　　令ω=dθ/dt,上式改写成：　　ωdω/dθ+g/l*sinθ=0 　　ω²=2g/l*cosθ+c 　　给定初始条件θ=α（0≤α≤π）,ω=0,则其特解为：　　ω²=2g/l*(cosθ-cosα）=4g/l*(sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）) 　　所以t=∫dθ/ω=1/2*√（g/l)*∫[0,θ]dθ/√（sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）) 　　做变换sin（θ/2）=sin（α/2）sinφ,则 　　t=√（l/g)*∫[0,φ]dφ/√（1-sin²；（α/2）*sin²；φ）=√（l/g)*F（φ,sin（α/2）) 　　以上是单摆从任意位置摆动任意角的公式,当单摆从任意位置开始摆动到竖直位置时,θ=α,此时φ=π/2 　　那么T=4t=4√（l/g)*F（π/2,sin（α/2）)=4√（l/g)*K(sin（α/2））,此处的α就是常说的摆角,现在看一下不同的摆角对周期的影响 　　单摆的近似公式为T=2π√（l/g）,精确公式为T=4√（l/g)*K(sin（α/2））,记相对误差为e（α） 　　那么e（α）=（2K(sin（α/2）)-π)/（2K(sin（α/2）)
用Maple计算得到：
　　当10度内,e= sine=l/g 　　e（1）=0.0019% 　　e（2）=0.0076% 　　e（3）=0.0171% 　　e（4）=0.0305% 　　e（5）=0.0476% 　　e（6）=0.0685% 　　e（7）=0.0933% 　　e（8）=0.1218% 　　e（9）=0.1542% 　　e（10）=0.1903% 　　e（11）=0.2303% 　　e（12）=0.2741% 　　e（13）=0.3217% 　　e（14）=0.3730% 　　e（15）=0.4282% 　　e（16）=0.4872% 　　e（17）=0.5500% 　　e（18）=0.6165% 　　e（19）=0.6869% 　　e（20）=0.7611% 　　实验室一般取α≤5,所以相对误差不超过0.05%,总的来说精度还是比较高的.