已知a,b∈R,且a²+ab+b²=3,求a²-ab+b²的最大值和最小值

题目

已知a,b∈R,且a²+ab+b²=3,求a²-ab+b²的最大值和最小值

答案

a²+ab+b²=3≥2ab+ab=3ab （均值不等式）
∴ab≤1
a²+ab+b²=3=(a+b)²-ab
(a+b)²=3+ab≥0
∴-3≤ab≤1 -1≤-ab≤3
a²-ab+b²=a²+ab+b²-2ab=3-2ab
∵ -1≤-ab≤3
∴ -2≤-2ab≤6
∴3 -2≤3-2ab≤3+6
即 1≤3-2ab≤9
所以a²-ab+b²的最大值为9,最小值为1