2.在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b+2(k≠0)的图像与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点,且使得△OAB的面积之等于|OA|+|OB|+3.

题目

2.在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b+2(k≠0)的图像与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点,且使得△OAB的面积之等于|OA|+|OB|+3.
（1）用b表示k .
(2)求△OAB面积最小值

答案

根据题意已知,直线交与x,y轴的正半轴的A,B两点,得：b+2＞0,k＜0,由已知S⊿OAB=|OA|+|OB|+3得1/2|OA||OB|=|OA|+|OB|+3,即-1/2(b+2)（b+2）/ k=|b+2|+|（b+2）/k|+3,可转换为-(b+2)2/2k=b+2-(b+2)/k+3,经过计算,得：(b+2)k2+(10k+4)k-(2b+4)=0.利用方程求根公式,得：k=-(b2+2b)/(2b+10).S⊿OAB=1/2|OA||OB|=1/2-(b+2)2/k,将上一问的结论代入此式中,为：S⊿OAB=（b+2）（b+5）/b=1/b[(b+7/2)2-9/4].由此式得,当b=-7/2时,S⊿OAB=9/14;当b=0时,S⊿OAB=0.但当b=0时,得k=0与题已知相矛盾,所以b=0的结论不成立.所以S⊿OAB得最小值为9/14.