在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E点为DD1中点． （1）求证：平面ACE⊥平面BDD1． （2）求证：BD1∥平面ACE． （3）求二面角E-AC-D的正切值．

题目

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E点为DD₁中点．
（1）求证：平面ACE⊥平面BDD₁．
（2）求证：BD₁∥平面ACE．
（3）求二面角E-AC-D的正切值．

答案

（1）证明：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AC与BD是正方形ABCD的对角线，∴AC⊥BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，∴AC⊥DD₁，
∴AC⊥平面BD₁，
∵AC⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BDD₁．
（2）证明：设AC∩BD=O，则O是AC中点，
连结OE，∵E点为DD₁中点，∴OE∥BD₁，
∵BD₁不包含于平面ACE，OE⊂平面ACE，
∴BD₁∥平面ACE．
（3） 设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
则AE=CE=

4+1

=

5

，AD=DC=2，OD=

2

，OE=

3

，
∴DO⊥AC，EO⊥AC，
∴∠DOE是二面角E-AC-D的平面角，
∴tan∠DOE=

DE

DO

=

1

2

=

2

2

，
∴二面角E-AC-D的正切值为

2

2

．

（1）由已知条件得AC⊥BD，AC⊥DD₁，从而得到AC⊥平面BD₁，由此能证明平面ACE⊥平面BDD₁．
（2）设AC∩BD=O，则O是AC中点，连结OE，则OE∥BD₁，由此能证明BD₁∥平面ACE．
（3）由已知条件推导出∠DOE是二面角E-AC-D的平面角，由此能求出二面角E-AC-D的正切值．

本题考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

考点点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．