函数f(x)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明；在[0,a]上至少存在一点使得f(x)=f(x+a)

题目

函数f(x)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明；在[0,a]上至少存在一点使得f(x)=f(x+a)

答案

设F（x）=f（x）-f(x+a)
则F（0）=f（0）-f（a）
F（a）=f（a）-f（2a）=f（a）-f（0）
所以F（0）×F（a）小于0
根据零点定理有E使F（E）=0即结果