若存在过点(1,0)的直线与曲线Y=X^3和Y=aX^2+3X-9都相切,求实数a的值

题目

若存在过点(1,0)的直线与曲线Y=X^3和Y=aX^2+3X-9都相切,求实数a的值

答案

设过点(1,0)的与曲线Y=X^3相切的直线
斜率为k,切点为M(x0,y0)
对y=x³求导,y'=3x²,
∴k=3x²0; ①
y0=x³0 ②
k=y0/(x0-1) ③
消去k,y0:3x²0=x³0/(x0-1)
解得x0=3/2,k=27/4
∴切线方程为：
y=27/4(x-1)
对Y=aX^2+3X-9求导
y'=2ax+3
设切点N(x1,y1)
则2ax1+3=k=27/4==>ax1=15/8
y1=27/4(x1-1)
y1=ax²1+3x1-9
消去y1,k
∴27/4(x1-1)=15/8*x1+3x1-9
∴54x1-54=15x+24x1-72
∴x1=-6/5
∴a(-6/5)=15/8
∴ a=-25/16