如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC边上的中点,CE⊥AD于点E,BF∥AC交CE的延长线于点F 求证:BD=BF.
题目
如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC边上的中点,CE⊥AD于点E,BF∥AC交CE的延长线于点F
求证:BD=BF.
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答案
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证明:∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠1+∠2=90°,
∵BF∥AC,
∴∠ACB=∠CBF=90°,
∵CE⊥AD,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
在△ACD与△CBF中,
∵
,
∴△ACD≌△CBF,
∴BF=CD,
∵D为BC边上的中点,
∴BD=CD,
∴BD=BF.
先根据Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠2+∠1=90°,再根据BF∥AC可知∠ACB=∠CBF=90°,由CE⊥AD可知∠2+∠3=90°,由∠2+∠1=90°可知∠1=∠3,故可得出△ACD≌△CBF,根据全等三角形的性质即可得出结论.
全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.
本题考查的是全等三角形的判定与性质,熟知全等三角形的ASA定理是解答此题的关键.
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