求一道高中数学函数题的解析

题目

求一道高中数学函数题的解析
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)=-f(x)+2,且当x∈(0,5)时,f(x)=x,则f(2008)的值是多少?
答案给的是把x+5当做自变量代进去,可以求出f(x)的周期是10.可是“当x∈(0,5)时,f(x)=x“这个条件是干什么用的?怎么想到代x+5的?是不是跟这个条件有关啊?

答案

∵f(x+5)=-f(x)+2
∴f[(x+5)+5]=-f(x+5)+2
∴f(x+5)=-f(x+10)+2
∴f(x)=f(x+10)
∴f(x)的周期是10
∴f(2008)=f(1998)=f(1988)=...=f(8)
∵f(8)=f(3+5)=-f(3)+2,而当x∈(0,5)时,f(x)=x
∴f(3)=3,f(8)=-1
∴f(2008)=-1