已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)的单调递减区间是(0,4),则k的值是 _ .
题目
已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)的单调递减区间是(0,4),则k的值是 ___ .
答案
对函数求导数,得f'(x)=3kx
2+6(k-1)x
∵函数的单调递减区间是(0,4),
∴f'(x)<0的解集是(0,4),
∵k>0,
∴3kx
2+6(k-1)x<0等价于3kx(x-4)<0,
得6(k-1)=-12k,解之得k=
故答案为:
将三次多项式函数求导数,得f'(x)=3kx2+6(k-1)x,结合题意得f'(x)<0的解集是(0,4),根据一元二次不等式解法的结论,比较系数即可得到实数k的值.
利用导数研究函数的单调性.
本题给出三次多项式函数的单调减区间,求参数k的值,着重考查了利用导数研究函数的单调性和一元二次不等式解法等知识,属于基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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