某跳水运动员进行10米跳台跳水训练,身体(将运动员看成一点)在空中运动的路线是如图所示坐标系经过原点O的抛物线(图中标出的数据为已知数据).在跳某个规定动作时,正常情况下
题目
某跳水运动员进行10米跳台跳水训练,身体(将运动员看成一点)在空中运动的路线是如图所示坐标系经过原点O的抛物线(图中标出的数据为已知数据).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中最高处距水面10
米,入水处距池边4米.同时,运动员在距水面高度5米以前,必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误.
(1)求这条抛物线的关系式;
(2)某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入
水姿势时距池边的水平距离为3
米,问此次跳水会不会失误?通过计算说明理由.
答案
(1)如答图所示,在给定的直角坐标系中,设最高点为A,入水点为B.
∵A点距水面10
米,跳台支柱10米,
∴A点的纵坐标为
.
由题意可得O(0,0),B(2,-10).
设该抛物线的关系式为y=ax
2+bx+c,
把O(0,0),B(2,-10)代入上式,
得
,
解得
或
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,
∴-
>0,
又∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∴b>0,
∴a=-
,b=
,c=0,
∴所求抛物线的关系式为y=−
x2+
x.
(2)试跳会出现失误,当x=3
−2=
时,
y=−
×(
)2+
×
=−
.
此时,运动员距水面的高为10−
=
<5,
∴试跳会出现失误.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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