如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)证明:BC1⊥面A1B1CD; (2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)证明:BC1⊥面A1B1CD; (2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.

题目
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

(1)证明:BC1⊥面A1B1CD;
(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
答案
(1)连接B1C交BC1于点O,连接A1O.
在正方体ABCD-A1B1C1D1
因为A1B1⊥平面BCC1B1
所以A1B1⊥BC1
又∵BC1⊥B1C,又BC1∩B1C=O
∴BC1⊥平面A1B1CD 
(2)因为BC1⊥平面A1B1CD,所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影,所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.设正方体的棱长为a
在RT△A1BO中,A1B=
2
a,BO=
2
2
a,所以BO=
1
2
A1B,∠BA1O=30°,
即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.
(1)要证BC1⊥面A1B1CD;应通过证明A1B1⊥BC1.BC1⊥B1C两个关系来实现,两关系容易证明.
(2)因为BC1⊥平面A1B1CD,所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影,所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.在RT△A1BO中求解即可.

直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.

本题考查空间直线与平面垂直关系的判断,线面角大小求解,考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力.

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