已知角A、B为锐角，且cos（A+B）•sinB=sinA，则tanA的最大值是（　　） A.24 B.22 C.32 D.22

题目

已知角A、B为锐角，且cos（A+B）•sinB=sinA，则tanA的最大值是（　　）
A.

2

4

B.

2

2

C. 3

2

D. 2

2

答案

由cos（A+B）sinB=sinA得-cosCsinB=sinA，
利用正弦定理和余弦定理，-

a2+b2−c2

2ab

×b=a，化简可得 3a²+b²=c²．
由 tan²A=

1

cos2A

-1，且A为锐角可得，可得 cosA＞0，tanA＞0．
只要求出cosA的最小值，就可求得tanA的最大值．
又cosA=

b2+c2−a2

2bc

=

2b2+c2

3bc

≥

2 2

3

，当且仅当

2

b=c时，等号成立．
即cosA的最小值为

2 2

3

． 故tan²A 的最大值为

1

8

，
故tanA的最大值

1 8

=

2

4

．

由条件可得-cosCsinB=sinA，利用正弦定理和余弦定理可得3a²+b²=c²，由 tan²A=

1

cos2A

-1，且A为锐角，判断知，
求tanA的最大值即求cosA的最小值，由基本不等式求出cosA的最小值，从而求得tanA的最大值．

本题考点：三角函数的恒等变换及化简求值．

考点点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理和余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．